작성일: 2020년 2월 4일
<aside> 💡 본 게시글은 MIT OCW Computational Science and Engineering 1의 Lesson 1~2의 내용을 정리한 것입니다. 또한 서울대학교 건설환경공학과 유한요소입문의 강의자료 및 인터넷(링크 걸린 자료들)을 참조하였습니다.
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Structural Analysis Lab. at Seoul National University
유한요소법은 행렬과 벡터의 향연입니다. '강성행렬(stiffness matrix)은 양정치(positive definite)행렬이다'라는 이야기를 들었던 기억이 나실지도 모르겠습니다. 지금부터 소개하는 행렬의 특징을 표현하는 용어들은 앞으로 우리가 다룰 강성행렬의 특징과 많이 닮아있습니다. 선형대수학을 어느정도 알고 있다는 가정 하에 몇 가지 용어를 살펴보겠습니다.
$$ K=\begin{bmatrix} 2&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2\\\end{bmatrix} $$
대각선을 기준으로 대칭입니다(symmetric matrix). 이를 다르게 표현하면 K의 전치행렬(transpose)이 K와 같다, 혹은 K의 (i,j)원소가 (j,i)원소와 같다고 표현할 수 있습니다.
$$ K^T =K \space or \space K_{i,j} = K_{j,i} $$
0이 많습니다 (희소행렬, sparse matrix). 만약 위와 같은 행렬의 크기가 10x10, 100x100이라면 어떨까요? 대부분의 원소가 0이 될 것입니다. 이처럼 의미 있는 값이 드문 드문 있는 행렬을 sparse하다고 합니다.
0이 아닌 원소들이 주 대각선에 뭉쳐있습니다 .이런 경우 banded matrix라고 합니다.
대각선의 원소가 같습니다(constant diagonal). 다시 말해 시간이 지남에 따라 무엇인가 변하는 것이 없다는 뜻입니다. 예를 들어 각 행 [2 -1 0 0], [-1 2 -1 0], [0 -1 2 -1]... 은 사실 -1, 2, -1이 오른쪽으로 한 칸씩 이동한 것과 같습니다. 이러한 특성을 shift-invariant, 또는 time-invariant라고 말하기도 합니다.
가역행렬입니다(invertible, non-singular). 다시 말해 역행렬이 존재한다는 뜻입니다.
역행렬이 존재한다는 것은 피벗(pivot, 주축)이 0이 아니라는 뜻입니다.
역행렬이 존재한다는 것은 고유값(eigenvalue)이 0이 아니라는 뜻입니다.
$$ KK^{-1} = I $$
또, 이 행렬은 양정치행렬입니다(positive definite).
양정치행렬은 피벗(pivot, 주축)이 양(positive)의 값을 가진다는 뜻입니다.
또한 고유값(eigenvalue)이 모두 양(positive)의 값을 가진다는 뜻입니다.
$$ u^{T}Ku>0 $$
위의 행렬 K가 어떤 연산을 하는 행렬인지 알아보기 전에, 미분방정식을 하나 생각해봅시다.
축력을 받는 길이 L, 단면적 A인 막대를 생각해봅시다. 그리고 한쪽은 고정, 다른 한쪽은 자유단이며 자유단에 x축 방향의 축력 P와 체적력(body force) p가 작용하고 있습니다. x축 방향의 변위 u(x)를 구하기 위한 지배방정식(governing equation)은 다음과 같이 3가지 조건을 통해 유도할 수 있습니다.